Latihan Ekuivalensi NFA ke DFA dan NFA empty move

Dosen : Yessy Fitriani, ST.,M.Kom

Ekuivalensi NFA ke DFA dan NFA € (empty) - Move

Dosen : Yessy Fitriani, ST.,M.Kom

Ekuivalensi NFA dan DFA

Dari sebuah mesin Non-Deterministic FInite Automata dapat dibuat mesin Deterministic FInite Automata-nya yang ekuivalen (bersesuaian). ekuivalen disini artinya mampu menerima bahasa yang sama.

NFA € (empty) - Move

Ada jenis otomata baru yang disebut NFA dengan € - move (disini bisa di anggap sebagai 'empty'). Pada NFA dengan € - move (transisi € ), diperbolehkan mengubah state tanpa membaca input. disebut dengan tarnsisi € karena tidak bergantung pada suatu input ketika melakukan transisi.
*) € - Closure adalah himpunan state-state yang dapat dicapai dari suatu state tanpa membaca input.

 

JAWABAN DARI GAME FAMILY CRISIS

Dosen: Yessy Fitriani, ST.,M.Kom

DIAGRAM TRANSISI

5 TUPEL

TRACING

Ekuivalensi Antar Deterministic Finite Automata

Dosen: Yessy Fitriani, ST.,M.Kom 

 

Ekuivalensi Antar Deterministic Finite Automata

Untuk suatu bahasa regular, kemungkinan ada sejumlah Deterministic Finite Automata yang dapat menerimanya. Perbedaannya hanyalah jumlah state yang dimiliki otomata-otomata yang saling ekuivalen tersebut. Tentu saja, dengan alasan kepraktisan, kita memilih otomata dengan jumlah state yang lebih sedikit.

Sasaran kita di sini adalah mengurangi jumlah state dari suatu Finite State Automata, dengan tidak mengurangi kemampuannya semula untuk menerima suatu bahasa.

Ada dua buah istilah baru yang perlu kita ketahui yaitu :

1. Distinguishable yang berarti dapat dibedakan.

2. Indistinguishable yang berarti tidak dapat dibedakan.

Dua DFA M1 dan M2 dinyatakan ekivalen apabila L(M1) = L(M2)

Reduksi Jumlah State Pada FSA

Reduksi dilakukan untuk mengurangi jumlah state tanpa mengurangi kemampuan untuk menerima suatu bahasa seperti semula (efisiensi). State pada FSA dapat direduksi apabila terdapat useless state. Hasil dari FSA yang direduksi merupakan ekivalensi dari FSA semula

Pasangan State dapat dikelompokkan berdasarkan:

1. Distinguishable State (dapat dibedakan)

    Dua state  p dan q dari suatu DFA dikatakan indistinguishable apabila:

                δ(q,w) Î F dan  δ(p,w) Î F   atau   δ(q,w) ∉ F dan  δ(p,w) ∉ F

                untuk semua w Î S*

2. Indistinguishable State ( tidak dapat dibedakan)

    Dua state  p dan q dari suatu DFA dikatakan distinguishable jika ada string w Î S*  hingga:

                                                  δ(q,w) Î F dan  δ(p,w) ∉ F

Reduksi Jumlah State Pada FSA – Relasi

Pasangan dua buah state memiliki salah satu kemungkinan : distinguishable atau indistinguishable tetapi tidak kedua-duanya. 

Dalam hal ini terdapat sebuah relasi :

Jika         p dan q    indistinguishable,

dan         q  dan r    indistinguishable

maka      p,  r          indistinguishable 

dan         p,q,r         indistinguishable

Dalam melakukan eveluasi state, didefinisikan suatu relasi :

     Untuk Q yg merupakan himpunan semua state

• D  adalah  himpunan state-state distinguishable,  dimana D Ì Q
• N  adalah himpunan state-state indistinguishable, dimana N Ì Q
• maka     x Î N  jika  x Î Q  dan x ∉  D

Reduksi Jumlah State Pada FSA – Step

Langkah - langkah untuk melakukan reduksi ini adalah :

1. Hapuslah semua state yg tidak dapat dicapai dari state awal  (useless state)
2. Buatlah semua pasangan state (p, q) yang distinguishable, dimana p Î  F dan q ∉ F. Catat semua pasangan-pasangan state tersebut.
3. Cari state lain yang distinguishable dengan aturan:                                                              Untuk semua (p, q) dan semua a Î ∑, hitunglah  δ (p, a) = p_a dan δ (q, a) = q_a  . Jika pasangan (p_a, q_a) adalah pasangan state yang distinguishable maka pasangan (p, q) juga termasuk pasangan yang distinguishable.
4. Semua pasangan state yang tidak termasuk sebagai state yang distinguishable merupakan state-state indistinguishable.
5. Beberapa state yang indistinguishable dapat digabungkan menjadi satu state.
6. Sesuaikan transisi dari state-state gabungan tersebut.

Reduksi Jumlah State Pada FSA - Contoh

                              Sebuah Mesin DFA

1. State  q5 tidak dapat dicapai dari state awal dengan jalan apapun (useless state).  Hapus state q5

2. Catat state-state distinguishable, yaitu :                                                                                    

• q4 Î F sedang q0, q1, q2, q3 ∉ F sehingga pasangan                                                              
• (q0, q4) (q1, q4) (q2, q4) dan (q3, q4) adalah distinguishable.

3. Pasangan-pasangan state lain yang distinguishable diturunkan berdasarkan pasangan dari langkah 2, yaitu :                                                                                                                                

• Untuk pasangan (q0, q1)                                                                                                      

          δ(q0, 0) = q1   dan   δ(q1, 0) = q2   à  belum teridentifikasi                                                                     δ(q0, 1) = q3   dan   δ(q1, 1) = q4   à  (q3, q4) distinguishable   

          maka         (q0, q1) adalah distinguishable.                                                                                               

• Untuk pasangan (q0, q2)

          δ(q0, 0) = q1   dan   δ(q2, 0) = q1   à  belum teridentifikasi 

          δ(q0, 1) = q3   dan   δ(q2, 1) = q4   à  (q3, q4) distinguishable                     

          maka         (q0, q2) adalah distinguishable.

4. Setelah diperiksa semua pasangan state  maka terdapat state-state yang distinguishable : (q0,q1), (q0,q2), (q0,q3),  (q0,q4), (q1,q4),  (q2,q4), (q3,q4). Karena berdasarkan relasi-relasi yang ada, tidak dapat dibuktikan (q1, q2), (q1, q3) dan (q2, q3) distinguishable,  sehingga disimpulkan pasangan-pasangan state tersebut indistinguishable.

5. Karena q1 indistinguishable dengan q2,  q2 indistinguishable dengan q3, maka dapat disimpulkan q1, q2, q3 saling indistinguishable dan dapat dijadikan satu state.

6. Berdasarkan hasil diatas  maka hasil dari DFA yang direduksi menjadi:

 Contoh-contoh yang di ambil dari catatan :

sumber :
slide TBO Ekuivalensi Antar DFA

Kumpulan soal latihan 1-3

Dosen: Yessy Fitriani, ST.,M.Kom

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

 

FSA (FINITE STATE OTOMATA)

Dosen: Yessy Fitriani, ST.,M.Kom

Otomata adalah:  

Suatu bentuk/model matematika yang memiliki fungsi-fungsi dari computer digital yaitu :

•  Menerima input.

• Menghasilkan output.

• Bisa memiliki penyimpanan sementara.

• Mampu membuat keputusan dalam mentransformasikan input ke output.

• Terdiri dari sejumlah berhingga state (kedudukan) 

• Perpindahan state satu ke yang lain berdasar input dan fungsi transisi

• Input pada otomata => bahasa yang harus dikenali

• Otomata membuat keputusan apakah input diterima atau tidak.

Finite State Automata 

adalah mesin abstrak berupa sistem model matematika dengan masukan dan keluaran diskrit yang dapat mengenali bahasa paling sederhana (bahasa reguler) dan dapat diimplementasikan secara nyata. 

Finite state automata (FSA) bukanlah mesin fisik tetapi suatu model matematika dari suatu sistem yang menerima input dan output. 

FSA merupakan mesin automata dari bahasa regular (tipe 3). Suatu FSA memiliki state yang banyaknya berhingga, dan dapat berpindah dari suatu state ke state lain. Perubahan state dinyatakan oleh fungsi transisi. 

FSA didefinisikan sebagai pasangan 5 tupel : (Q, ∑, δ, S, F).

Q : himpunan hingga state
∑ : himpunan hingga simbol input (alfabet)
δ : fungsi transisi, menggambarkan transisi state FSA akibat pembacaan simbol input.
(Fungsi transisi ini biasanya diberikan dalam bentuk tabel.)
S : state AWAL (Start)
F : himpunan state AKHIR (Final)

Contoh FSA untuk mengecek parity ganjil

 

- Misal input : 1101 

Genap 1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 1 Ganjil : diterima mesin

- Misal input : 1100
Genap 1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 0 Genap : ditolak mesin

Dari contoh diatas, maka:
Q = {Genap, Ganjil}
Σ = {0,1}
S = Genap
F = {Ganjil }

 

Klasifikasi FSA

Ada dua jenis FSA :

1. Deterministic finite automata (DFA)
Terdiri dari 1 transisi dari suatu state pada 1 simbol masukan.

2. Non deterministik finite automata.(NFA)
Lebih dari 1 transisi dari suatu state dimungkinkan pada simbol masukan yang sama.

• Kedua finite automata tersebut mampu mengenali himpunan reguler secara presisi. Dengan demikian kedua finite automata itu dapat mengenali string-string yang ditunjukkan dengan ekspresi reguler secara tepat.

• DFA dapat menuntun recognizer(pengenal) lebih cepat dibanding NDFA.

• Namun, DFA berukuran lebih besar dibanding NDFA yang ekivalen dengannya.

1.Deterministik (DFSA/DFA)

Pada setiap input, hanya ada satu keadaan (state) tujuan dari keadaan saat ini.

Contoh :

Pengujian untuk menerima bit string dengan banyaknya 0 genap, serta banyaknya 1 genap.
0011 : diterima
10010 : ditolak, karena banyaknya 0 ganjil
Diagram transisi-nya :

 

DFA nya:
Q = {q0 , q1 , q2 , q3 }
Σ = {0,1}
S = q0
F = { q0}
fungsi transisi adalah:

Contoh : diberikan string 011 dan 1010, buktikan bahwa string tersebut diterima atau ditolak !

δ (q0,011) = δ (q2,11) = δ (q3,1) = q2   Ditolak

δ (q0,1010)    = δ (q1,010)

= δ (q3,10)

= δ (q2,0)

= δ (q0,empty) Diterima

2.Nondeterministik (NFSA/NFA)
 Pada setiap input terdapat lebih dari satu keadaan tujuan dari keadaan saat ini.

Non-deterministic

◦ 1 keadaan + 1 input ≥ 1 keadaan.

◦ Atau, 1 keadaan + 1 input -> 0 keadaan

◦ Setiap DFA merupakan NFA.

Cara  Kerja   NFA :

- Misal: kita berada di keadaan q1 suatu NFA N1. Diberikan simbol input 1.

◦ Setelah membaca input tersebut, mesin menuju semua keadaan

berikutnya yang berlabel 1.

- Kemudian mesin membaca input berikutnya.

◦ Bila keadaan berikutnya ada lebih dari satu keadaan, ikuti semua keadaan tersebut.

◦ Bila tidak ditemukan keadaan berikutnya, maka runtutan string tersebut mati.

- Jika salah satu dari cabang urutan string mencapai keadaan akhir/ final state/ keadaan yang diterima, NFA menerima string yang diberikan.

- Jika muncul keadaan dengan simbol empty,  maka tanpa membaca input lagi mesin menuju ke semua keadaan berikutnya yang dituju simbol empty.

 

Contoh :

Konfigurasi NFA secara formal adalah sebagai berikut :

Q = {q0, q1 }

Σ = {a, b}

S = q0

F = {q1}

Fungsi-fungsi transisinya sebagai berikut :

δ (q0, a) = {q0,q1},     

δ (q0, b) = q1, 

δ (q1, a) = q1,             

δ (q1, b) = q1,

Nondeterministik (NFSA/NFA)

Pada setiap input terdapat lebih dari satu keadaan tujuan  dari keadaan saat ini.

 Non-deterministic

◦ 1 keadaan + 1 input ≥ 1 keadaan.

◦ Atau, 1 keadaan + 1 input -> 0 keadaan

◦ Setiap DFA merupakan NFA.

Cara  Kerja   NFA (1) Misal: kita berada di keadaan q1 suatu NFA N1. Diberikan simbol input 1.

◦ Setelah membaca input tersebut, mesin menuju semua keadaan

berikutnya yang berlabel 1.

Kemudian mesin membaca input berikutnya.

◦ Bila keadaan berikutnya ada lebih dari satu keadaan, ikuti semua keadaan tersebut.

◦ Bila tidak ditemukan keadaan berikutnya, maka runtutan string tersebut mati.

Jika salah satu dari cabang urutan string mencapai keadaan akhir/ final state/ keadaan yang diterima, NFA menerima string yang diberikan.

Jika muncul keadaan dengan simbol e,  maka tanpa membaca input lagi mesin menuju ke semua keadaan berikutnya yang dituju simbol e.

Pohon Kemungkinan

 

Contoh : 

Bagaimana cara membaca input 010110?

 

NFA menerima string yang mengandung substring 11 dan 101 

Non-Deterministic Finite Automata:
• Otomata berhingga yang tidak pasti untuk setiap pasangan state input, bisa memiliki 0 (nol) atau lebih pilihan untuk state berikutnya.
• Untuk setiap state tidak selalu tepat ada satu state berikutnya untuk setiap simbol input yang ada.
• Dari suatu state bisa terdapat 0,1 atau lebih busur keluar (transisi)
berlabel simbol input yang sama.
• Untuk NFA harus dicoba semua kemungkinan yang ada sampai
terdapat satu yang mencapai state akhir.

Kedua finite automata di atas mampu mengenali himpunan reguler secara presisi. Dengan demikian kedua finite automata itu dapat mengenali string-string yang ditunjukkan dengan ekspresi reguler secara tepat.

DFA dapat menuntun recognizer(pengenal) lebih cepat dibanding NDFA. Namun demikian, DFA berukuran lebih besar dibanding NDFA yang ekivalen dengannya. Lebih mudah membangun NDFA dibanding DFA untuk suatu bahasa, namun lebih mudah mengimplementasikan DFA dibanding NDFA.

sumber :
- slide TBO
- https://riskasimaremare.wordpress.com